Question

設橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左、右焦點分別為F₁、F₂，離心率為

1

2

，過點F₁且與x軸垂直的直線被橢圓截得的線段長為3．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）是否存在過點F₁的直線m與橢圓E交于A、B兩點，且使得F₂A⊥F₂B？若存在，求出直線m的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設過點F₁且與x軸垂直的直線被橢圓截得的線段為MN，由題意可得點M的坐標，點M在橢圓上，以及離心率為

1

2

，a²=b²+c²，建立方程組，可求出a、b的值，從而得到橢圓E的方程；
（Ⅱ）假設存在過點F₁的直線m與橢圓E交于A、B兩點，且使得F₂A⊥F₂B，設直線m的方程為x=ny-1，聯立直線m的方程與橢圓E的方程，根據F₂A⊥F₂B建立等式，可求出n的值，從而得到直線方程．

解答：解：（Ⅰ）設過點F₁且與x軸垂直的直線被橢圓截得的線段為MN，
由題意可知MN=3，則M（-c，

3

2

），e=

c

a

=

1

2

，即a=2c，①
∵M（-c，

3

2

）在橢圓上，
∴

(-c)2

a2

+

( 3 2 )2

b2

=1，②
將①代入②解得b²=3，
∵a²=b²+c²，b²=3，a=2c，
∴a²=4，
∴橢圓E的方程為

x2

4

+

y2

3

=1；
（Ⅱ）假設存在過點F₁的直線m與橢圓E交于A、B兩點，且使得F₂A⊥F₂B，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線m的方程為x=ny-1，
聯立直線m的方程：x=ny-1與橢圓E的方程：

x2

4

+

y2

3

=1，
得

x=ny-1 3x2+4y2-12=0

，即（3n²+4）y²-6ny-9=0，
∴

y1+y2= 6n 3n2+4 y1y2= -9 3n2+4

，
∵

F2A

=（x₁-1，y₁），

F2B

=（x₂-1，y₂），F₂A⊥F₂B，
∴

F2A

•

F2B

=0，即（x₁-1）（x₂-1）+y₁y₂=0，
又∵x₁=ny₁-1，x₂=ny₂-1，
∴（ny₁-2）（ny₂-2）+y₁y₂=0，
即（n²+1）y₁y₂-2n（y₁+y₂）+4=

-9n2-9

3n2+4

-

12n2

3n2+4

+4=0，
解得9n²=7，即n=±

7

3

．
∴直線m的方程：x=±

7

3

y-1即3x±

7

y+3=0．

點評：本題主要考查了橢圓的標準方程，直線與橢圓的位置關系，考查學生的計算能力，正確運用韋達定理是關鍵．屬于中檔題．