Question

【題目】(本題滿分16分)

設函數.

（1）若=1時，函數取最小值，求實數的值；

（2）若函數在定義域上是單調函數，求實數的取值范圍；

（3）若，證明對任意正整數，不等式都成立.

Answer 1

【答案】（1）- 4.（2）（3）詳見解析

【解析】試題分析：（1）利用導數求開區間函數最值，先從導函數出發，探求極值點即為最值點，最后需列表驗證：由得（2）函數在定義域上是單調函數，即導函數不變號， ≥0或≤0在( - 1，+ ∞)上恒成立. 即2x2+2x+b≥0在( - 1，+ ∞)上恒成立或2x2+2x+b≤0在( - 1，+ ∞)上恒成立，利用變量分離及函數最值可得：實數b的取值范圍是.（3）證明和項不等式，關鍵分析出和項與通項關系： 即證當時,有f(x) ＜x3.這可利用導數給予證明

試題解析：（1）由x + 1＞0得x＞ – 1∴f(x)的定義域為( - 1，+ ∞),

對x∈ ( - 1，+ ∞),都有f(x)≥f(1)，∴f(1)是函數f(x)的最小值，故有f/(1) = 0,

解得b=" -" 4. 經檢驗，列表（略），合題意；

（2）∵又函數在定義域上是單調函數，

∴≥0或≤0在( - 1，+ ∞)上恒成立.

若≥0，∵x + 1＞0，∴2x2+2x+b≥0在( - 1，+ ∞)上恒成立,

即b≥-2x2-2x =恒成立,由此得b≥;

若≤0, ∵x + 1＞0, ∴2x2+2x+b≤0,即b≤- (2x2+2x)恒成立，

因-(2x2+2x) 在( - 1，+ ∞)上沒有最小值，∴不存在實數b使f(x) ≤0恒成立.

綜上所述，實數b的取值范圍是.

（3）當b=" -" 1時，函數f(x) = x2- ln(x+1)，令函數h(x)="f(x)" – x3= x2– ln(x+1) – x3，

則h/(x) =" -" 3x2+2x -，

∴當時，h/(x)＜0所以函數h(x)在上是單調遞減.

又h(0)=0，∴當時，恒有h(x) ＜h(0)=0,即x2– ln(x+1) ＜x3恒成立.

故當時,有f(x) ＜x3..

∵取則有

∴,故結論成立。