Question

4．如圖所示的三棱柱中，側面ABB₁A₁為邊長等于2的菱形，且∠AA₁B₁=60°，△ABC為等邊三角形，面ABC⊥面ABB₁A₁．
（1）求證：A₁B₁⊥AC₁；
（2）求側面A₁ACC₁和側面BCC₁B₁所成的二面角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）取A₁B₁的中點O，連結OA，OC₁，只證A₁B₁面AOC₁即可得到A₁B₁⊥AC₁．
（2）先證明AO⊥AC₁．再以O為坐標原點，OA₁，OA，OC₁方向為x、y、z軸建立坐標系O-xyz． 求出平面A₁ACC₁、平面BCAC₁B₁的法向量即可

解答 解：（1）證明：取A₁B₁的中點O，連結OA，OC₁，
因為，△ABC為等邊三角形，∴C₁O⊥A₁B₁，
在△A₁AO中，A₁A=2，A₁O=1，∠AA₁B₁=60°，可得OA⊥OA₁，
∴A₁B₁⊥C₁O，A₁B₁⊥OA，OA∩OC₁=O，∴${A}_{1}{B}_{1}⊥\\;面AO{C}_{1}$面AOC₁
而AC₁?面AOC₁，A₁B₁⊥AC₁．
（2）∵面A₁B₁C₁⊥面ABB₁A₁，面A₁B₁C₁∩面ABB₁A₁=B₁A₁，且C₁O⊥A₁B₁，∴C₁O⊥面ABB₁A₁，
OA?面ABB₁A₁∴AO⊥AC₁．
由（1）知OA⊥OA₁，OA₁⊥OC₁，故可以O為坐標原點，OA₁，OA，OC₁方向為x、y、z軸建立坐標系O-xyz．
A₁（1，0，0），A（0，$\sqrt{3}$，0），C₁（0，0，$\sqrt{3}$），B₁（-1，0，0），C（-1，$\sqrt{3}，\sqrt{3}）$，
$\overrightarrow{{A}_{1}{C}_{1}}=（-1，0，\sqrt{3}），\overrightarrow{A{C}_{1}}=（0，-\sqrt{3}，\sqrt{3}）$，
設$\overrightarrow{m}=（x，y，z）$為平面A₁ACC₁的法向量，則$\left\{\begin{array}{l}{-x+\sqrt{3}z=0}\\{-\sqrt{3}y+\sqrt{3}z=0}\end{array}\right.$，可得$\overrightarrow{m}=（\sqrt{3}，1，1）$．
$\overrightarrow{{B}_{1}{C}_{1}}=（1，0，\sqrt{3}），\overrightarrow{{C}_{1}C}=（-1，\sqrt{3}，0）$．
設$\overrightarrow{n}=（a，b，c）$為平面BCAC₁B₁的法向量，則$\left\{\begin{array}{l}{a+\sqrt{3}c=0}\\{-a+\sqrt{3}b=0}\end{array}\right.$，可得$\overrightarrow{n}=（\sqrt{3}，1，-1）$．
∴$cos＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞=\frac{3}{5}$，
側面A₁ACC₁和側面BCC₁B₁所成的二面角的余弦值為$\frac{3}{5}$．

點評 本題考查了線線垂直的判定，向量法求二面角，屬于中檔題．