Question

已知圓O：x²+y²=4．
（1）直線l₁：與圓O相交于A、B兩點，求|AB|；
（2）如圖，設M（x₁，y₁）、P（x₂，y₂）是圓O上的兩個動點，點M關于原點的對稱點為M₁，點M關于x軸的對稱點為M₂，如果直線PM₁、PM₂與y軸分別交于（0，m）和（0，n），問m•n是否為定值？若是求出該定值；若不是，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求出圓心（0，0）到直線的距離，再利用弦長公式求得弦長AB的值．
（2）先求出M₁和點M₂的坐標，用兩點式求直線PM₁ 和PM₂的方程，根據方程求得他們在y軸上的截距m、n的值，計算mn的值，可得結論．
解答：解：（1）由于圓心（0，0）到直線的距離．
圓的半徑r=2，∴．…（4分）
（2）由于M（x₁，y₁）、p（x₂，y₂）是圓O上的兩個動點，則可得 ，，且，．…（8分）
根據PM₁的方程為=，令x=0求得  y=．
根據PM₂的方程為：=，令x=0求得 y=．…（12分）
∴，顯然為定值．…（14分）
點評：本題主要考查直線和園相交的性質，點到直線的距離公式，用兩點式求直線的方程、求直線在y軸上的截距，屬于中檔題．