Question

已知△ABC中三個角A，B，C所對邊長分別是a，b，c，若a=2，b+c=4，則△ABC面積的最大值為（　　）

• A．2

  3

• B．

  3

• C．2

  2

• D．

  2

Answer 1

分析：由a=2，b+c=4，得到點A在以2為長軸，

3

為短軸的半橢圓上，如圖所示，當A在橢圓與y軸的交點時，BC邊上的高最大，此時三角形ABC為邊長為2的等邊三角形，求出等邊三角形的面積，此時三角形面積最大．

解答：解：∵a=2，b+c=4，
∴點A在橢圓

x2

4

+

y2

3

=1在x軸上方的部分，如圖所示：

當點A為橢圓

x2

4

+

y2

3

=1與y軸正半軸的交點（0，

3

）時，△ABC的高最大，即△ABC面積的最大值，
此時b=c=2，又a=2，
∴△ABC為邊長是2的等邊三角形，
則△ABC面積的最大值為

3

4

×2²=

3

．
故選B

點評：此題考查了動點的軌跡方程，橢圓的性質，根據題意得出點A在橢圓

x2

4

+

y2

3

=1在x軸上方的部分，進而得出BC邊上高的最大值是解本題的關鍵．