Question

設f（x）定義在R且x不為零的偶函數，在區間（-∞，0）上遞增，f（xy）=f（x）+f（y），當a滿足f（2a+1）＞f（-a+1）-f（3a）-3f（1）則a的取值范圍是（ ）
A．
B．
C．且a
D．

Answer 1

【答案】分析：先根據已知條件把f（2a+1）＞f（-a+1）-f（3a）-3f（1）轉化為f[（2a+1）3a]＞f（-a+1）；進而得到f（|3a（2a+1）|）＞f（|-a+1|）再結合其單調性推出|3a（2a+1）|＜|-a+1|，平方解不等式即可求出答案．
解答：解：由f（xy）=f（x）+f（y）⇒f（1×1）=f（1）+f（1）⇒f（1）=0；
∴f（2a+1）＞f（-a+1）-f（3a）-3f（1）
⇒f（2a+1）+f（3a）＞f（-a+1）
⇒f[（2a+1）3a]＞f（-a+1）；①
∵f（x）定義在R且x不為零的偶函數；
∴①轉化為f（|3a（2a+1）|）＞f（|-a+1|）②
∵函數在區間（-∞，0）上遞增，
∴函數在區間（0，+∞）上遞增，
∴②轉化為|3a（2a+1）|＜|-a+1|⇒[3a（2a+1）]²＜（-a+1）²⇒[3a（2a+1）-（-a+1）][3a（2a+1）+（-a+1）]＜0⇒（6a²+2a+1）（6a²+4a-1）＜0；
∵6a²+2a+1=6（a+）²+＞0恒成立；
而6a²+4a-1=6（a-）（a+）＜0⇒＜a＜；
∵定義域內不含0，
∴2a+1≠0且1-a≠0且3a≠0；
故a≠-且a≠0且a≠1．
∴滿足條件的a的取值范圍是：＜a＜且a≠0且a≠-．
故選：C．
點評：本題主要考查函數奇偶性的應用以及抽象函數的應用．解決本題的關鍵在于把f（2a+1）＞f（-a+1）-f（3a）-3f（1）轉化為f[（2a+1）3a]＞f（-a+1）．