Question

12、已知函數y=f（x），x∈R，有下列4個命題：
①若f（1+2x）=f（1-2x），則f（x）的圖象自身關于直線x=1對稱；
②f（x-1）與f（1-x）的圖象關于直線x=1對稱；
③若f（x）為偶函數，且f（1+x）=-f（x），則f（x）的圖象自身關于直線x=1對稱；
④若f（x）為奇函數，且f（x）=f（-x-2），則f（x）的圖象自身關于直線x=1對稱；
其中正確命題的序號為（　　）

A、①③

B、②④

C、①②③

D、①②③④

Answer 1

分析：利用奇偶函數的定義和性質，得f（-x）與f（x）的關系，再利用函數圖象關于直線x=a對稱的條件f（2a-x）=f（x）
可以探討各命題是否正確．

解答：解：∵f（1+2x）=f（1-2x），令t=2x∴f（1+t）=f（1-t）∴函數f（x）的圖象自身關于直線x=1對稱∴①對
∵f（x）的圖象向右平移1個單位，可得f（x-1）的圖象，將f（x）的圖象關于y軸對稱得f（-x）的圖象，然后將其圖象向右平移1個單位得f（1-x）的圖象，∴f（x-1）與f（1-x）的圖象關于直線x=1對稱∴②對．
∵f（1+x）=-f（x），∴f（2+x）=f（x）
∵f（x）為偶函數，∴f（-x）=f（x）∴f（2+x）=f（-x）∴f（x）的圖象自身關于直線x=1對稱∴③對．
∵f（x）為奇函數，且f（x）=f（-x-2）
∴f（x+2）=-f（x）=f（-x）∴f（x）的圖象自身關于直線x=1對稱
∴④對．
故選D

點評：本題主要考查了奇偶函數的定義和圖象的對稱性，同時考查了學生綜合應用條件的能力，是個中檔題．