Question

已知定義域為R的偶函數f（x）=a^x+b•a^-x（a＞0，a≠1，b∈R）．
（1）求實數b的值；
（2）判斷并證明f（x）的單調性；
（3）若f((log2x)2-log2x+1)≥f(m+log

1

2

x2)對任意x∈[2，4]恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由題意可得，f（-x）=f（x），化簡可得（b-1）（a^x-a^-x）=0，由此解得 b的值．
（2）設0≤x₁＜x₂，化簡f（x₁）-f（x₂）為 (ax1-ax2)(

ax1+x2-1

ax1+x2

)，當a＞1時，可得f（x₁）＜f（x₂），故f（x）為[0，+∞）上的增函數．當a＜1時，可得
f（x₁）＜f（x₂），f（x）為[0，+∞）上的增函數．
（3）條件等價于-(log2x)2+log2x-1≤m-2log2x≤(log2x)2-log2x+1對任意x∈[2，4]恒成立．令t=log₂x，等價于-t²+3t-1≤m≤t²+t+1對任意t∈[1，2]恒成立，求得-t²+3t-1在[1，2]上的最大值和 t²+t+1在[1，2]上的最小值，即可求得實數m的取值范圍．

解答：解：（1）由題意可得，f（-x）=f（x），可得 a^-x+b•a^x =a^x+b•a^-x ，∴（b-1）（a^x-a^-x）=0，解得 b=1．…（3分）
（2）設0≤x₁＜x₂，∵f(x1)-f(x2)=(ax1+a-x1)-(ax2+a-x2)=(ax1-ax2)+(a-x1-a-x2)
=(ax1-ax2)+

ax2-ax1

ax1+x2

=(ax1-ax2)(

ax1+x2-1

ax1+x2

)，
當a＞1時，ax1-ax2＜0，ax1+x2＞1，可得f（x₁）＜f（x₂），故f（x）為[0，+∞）上的增函數．
當a＜1時，ax1-ax2＞0，ax1+x2＜1，可得f（x₁）＜f（x₂），f（x）為[0，+∞）上的增函數．
綜上可得，當a＞0，a≠1時，f（x）為[0，+∞）上的增函數．…（7分）
（3）f((log2x)2-log2x+1)≥f(m+log

1

2

x2)對任意x∈[2，4]恒成立，等價于f((log2x)2-log2x+1)≥f(m-2log2x) 對任意x∈[2，4]恒成立，
等價于 |(log2x)2-log2x+1|≥|m-2log2x| 對任意x∈[2，4]恒成立，
等價于-(log2x)2+log2x-1≤m-2log2x≤(log2x)2-log2x+1對任意x∈[2，4]恒成立．
令t=log₂x，問題等價于-t²+3t-1≤m≤t²+t+1對任意t∈[1，2]恒成立．
由于函數-t²+3t-1在[1，2]上的最大值為

5

4

，t²+t+1在[1，2]上的最小值為 3，
故問題等價于

5

4

≤m≤3，故實數m的取值范圍為[

5

4

，3]．…（12分）

點評：本題主要考查函數的奇偶性、單調性，對數函數的性質應用，以及函數的恒成立問題，屬于中檔題．