Question

過(guò)雙曲線

x2

m

-

y2

n

=1（m＞0，n＞0）上的點(diǎn)P（

5

，-

3

）作圓x²+y²=m的切線，切點(diǎn)為A、B，若

PA

•

PB

=0，則該雙曲線的離心率的值是（　　）

• A．4
• B．3
• C．2
• D．

  3

Answer 1

分析：如圖，根據(jù)向量的數(shù)量積

PA

•

PB

=0得出∠APB=90°，又PA=PB，PA，PB是圓的切線，從而四邊形OAPB是正方形，利用OA=

2

2

OP求出m的值，又因?yàn)殡p曲線

x2

m

-

y2

n

=1（m＞0，n＞0）上的點(diǎn)P（

5

，-

3

），求出n的值，從而得出該雙曲線的離心率的值．

解答：解：如圖，∵

PA

•

PB

=0，∴

PA

⊥

PB

，
∴∠APB=90°，又PA=PB，PA，PB是圓的切線，
∴四邊形OAPB是正方形，
∴OA=

2

2

OP=

2

2

×2

2

=2，
即

m

=2，∴m=4，
又因?yàn)殡p曲線

x2

m

-

y2

n

=1（m＞0，n＞0）上的點(diǎn)P（

5

，-

3

），
∴

5

m

-

3

n

=1，∴n=12，
則該雙曲線的離心率的值是
e=

c

a

=

4+12

2

=

16

2

=2．
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)、直線與圓的位置關(guān)系、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．