Question

過x軸上動點A（a，0）引拋物線y=x²+1的兩條切線AP、AQ，P、Q為切點，設切線AP，AQ的斜率分別為k₁和k₂．
（1）求證：k₁k₂=-4；
（2）試問：直線PQ是否經過定點？若是，求出該定點坐標；若不是，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）設過A（a，0）與拋物線y=x²+1的相切的直線的斜率是k，則該切線的方程為：y=k（x-a）．由

y=k(x-a) y=x2+1

得x²-kx+（ka+1）=0，由此可知k₁k₂=-4．
（2）設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），由題意知y₁=2x₁a+2，y₂=2x₂a+2，由此可知直線PQ的方程是y=2ax+2，直線PQ過定點（0，2）．

解答：解：（1）設過A（a，0）與拋物線y=x²+1的相切的直線的斜率是k，
則該切線的方程為：y=k（x-a）
由

y=k(x-a) y=x2+1

得x²-kx+（ka+1）=0∴△=k²-4（ka+1）=k₂-4ak-4=0
則k₁，k₂都是方程k²-4ak-4=0的解，故k₁k₂=-4
（2）設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）
由于y'=2x，故切線AP的方程是：y-y₁=2x₁（x-x₁）
則-y₁=2x₁（a-x₁）=2x₁a-2x₁²=2x₁a-2（y₁-1）∴y₁=2x₁a+2，同理y₂=2x₂a+2
則直線PQ的方程是y=2ax+2，則直線PQ過定點（0，2）．

點評：本題考查直線和圓錐曲線的位置關系，解題時要認真審題，仔細解答．注意設而不求方法的運用．