Question

過x軸上動點A（a，0）引拋物線y=x²+1的兩條切線AP、AQ，P、Q為切點，設切線AP、AQ的斜率分別為k₁和k₂．
（Ⅰ）求證：k₁k₂=-4；
（Ⅱ）求證：直線PQ恒過定點，并求出此定點坐標．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設出切線的方程代入拋物線，消去y可得x²-kx+（ka+1）=0，利用判別式等于0，即可證得結論；
（Ⅱ）確定切線AP、AQ的方程，從而可得直線PQ的方程，即可得到直線PQ過定點．

解答：證明：（Ⅰ）設過A（a，0）與拋物線y=x²+1的相切的直線的斜率是k，
則該切線的方程為：y=k（x-a），代入拋物線，消去y可得x²-kx+（ka+1）=0
∴△=k²-4（ka+1）=k²-4ak-4=0
∴k₁，k₂都是方程k²-4ak-4=0的解，∴k₁k₂=-4
（Ⅱ）設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）
由于y'=2x，故切線AP的方程是：y-y₁=2x₁（x-x₁）
則-y₁=2x₁（a-x₁）=2x₁a-2x₁²=2x₁a-2（y₁-1），∴y₁=2x₁a+2，
同理y₂=2x₂a+2
∴直線PQ的方程是y=2ax+2，
∴直線PQ過定點（0，2）．

點評：本題考查直線和圓錐曲線的位置關系，解題時要認真審題，仔細解答．注意設而不求方法的運用．