Question

（2012•閘北區二模）如圖，在正四棱錐P-ABCD中，PA=AB=2．
（1）求該正四棱錐的體積V；
（2）設E為側棱PB的中點，求異面直線AE與PC所成角θ的大小．

Answer 1

分析：（1）根據題意，可得該四棱錐是側棱等于底面邊長的正四棱錐，由此不難求出它的高等于

2

，結合錐體體積公式，可得該正四棱錐的體積V；
（2）設F為BC中點，連接EF、AF，可得EF∥PC，所以異面直線AE與PC所成角θ等于AE、EC所成的銳角或直角．在△AEF中求出各邊的長，利用余弦定理算出∠AEF的余弦值，即可得出直線AE與PC所成角θ的大小．

解答：解：（1）設O為底面正方形ABCD中心，則PO為該正四棱錐的高
正方形ABCD中，AO=

1

2

AC=

2

，
∴Rt△POA中，PO=

PA2-AO2

=

2

，…（4分）
所以正四棱錐的體積為：V=

1

3

×22×

2

=

4

3

2

． …（6分）
（2）設F為BC中點，連接EF、AF，
∵△PBC中，EF是中位線，∴EF∥PC
由此可得：異面直線AE與PC所成角θ等于AE、EC所成的銳角或直角…（8分）
等邊三角形PAB中，邊長為2，所以AE=

3

2

PA=

3

，
△PBC中，EF=

1

2

PC=1，
Rt△ABE中，AF=

22+12

=

5

，…（3分）∴△AEF中，cos∠AEF=

AE2+EF2-AF2

2AE•EF

=-

3

6

．…（10分）
所以，異面直線AE與PC所成角θ=arccos

3

6

．…（12分）

點評：本題給出底面邊長等于側棱長的正四棱錐，求四棱錐的體積并求異面直線所成的角，著重考查了異面直線及其所成的角、正棱錐的性質和錐體體積公式等知識，屬于中檔題．