Question

已知向量

a

=(m，1)，

b

=(sinx，cosx)，f(x)=

a

•

b

且滿足f(

π

2

)=1．
（1）求函數y=f（x）的解析式；
（2）求函數y=f（x）的最小正周期、最值及其對應的x值；
（3）銳角△ABC中，若f(

π

12

)=

2

sinA，且AB=2，AC=3，求BC的長．

Answer 1

分析：（1）利用向量數量積公式，結合f(

π

2

)=1，即可求函數y=f（x）的解析式；
（2）利用正弦函數的性質，即可求函數y=f（x）的最小正周期、最值及其對應的x值；
（3）先求A，再利用余弦定理，即可求BC的長．

解答：解：（1）∵

a

=(m，1)，

b

=(sinx，cosx)且f(x)=

a

•

b

∴f（x）=msinx+cosx，
又f(

π

2

)=1，∴msin

π

2

+cos

π

2

=1，∴m=1，
∴f(x)=sinx+cosx=

2

sin(x+

π

4

)；
（2）T=2π
當x=

π

4

+2kπ（k∈Z）時，f（x）取得最大值為

2

；當x=

5π

4

+2kπ（k∈Z）時，f（x）取得最小值為-

2

；
（3）∵f(

π

12

)=

2

sinA，∴

2

sin

π

3

=

2

sinA
∵A是銳角△ABC的內角，∴A=

π

3

∵AB=2，AC=3，∴BC=

AC2+AB2-2AB•AC•cosA

=

7

．

點評：本題考查向量知識的運用，考查正弦函數的性質，考查余弦定理，考查學生的計算能力，屬于中檔題．