Question

【題目】已知函數，，其中.

（1）若函數的圖象均在軸上方，求的取值范圍；

（2）記為函數在上的零點，若存在唯一的，使得，且，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）由題意可知，不等式對任意的恒成立，利用導數求出函數的最小值，可得出關于實數的不等式，即可求得實數的取值范圍；

（2）先利用“為函數在上的零點”得到的取值范圍，并得到結論，然后利用另一個條件，再次得到的取值范圍，其中涉及隱零點問題，最后綜合兩次所得的取值范圍求出結果．

（1）由題意可得不等式對任意的恒成立，則，

，則，令，列表如下：

		極小值

所以，函數的單調遞減區間為，單調遞增區間為.

所以，函數的最小值為，

由題意可得，解得，

因此，實數的取值范圍是；

（2）由（1）可知，函數在區間上單調遞增，

因為為函數在上的零點，所以，，①

且有，解得.

，，

令，則，

，，函數單調遞增，即函數單調遞增，

而，，

所以，存在，使得，即，②

當時，，此時，函數單調遞減；

當時，，此時，函數單調遞增.

所以，函數在區間上的最小值為，

由①②得，所以，，

所以，在上恒成立，

又因為存在唯一的，使得且，則，

所以，，解得.

，，因此，實數的取值范圍是.