Question

設有n個人，每個人都可能地被分配到N個房間中的任意一間去住(n∈N*)，求下列事件的概率：

(1)指定的n個房間各有一個人住；

(2)恰好有n個房間，其中各住一個人．

Answer 1

答案：
解析：

解答　　(1)由于每一個人都會等可能的分配到N個房間之中去，就有N種方法，所以以n個人分配到N個房間中去，由分步計數(shù)原理總共有Nn種分法．對于已指定的某n個房間來說，第一個人可分配到其中任意一間去住，共有n種住法，第二人可分配到剩余的n－1間中任意一間，從而n－1種住法…，故n個人分配到n個房間去住，每人住一間，共有n！種分配方法，于是所求概率為P1＝ 　　(2)恰好有n個房間，這n個房間可以在N個房問中任意選取，那么共有種選法．對于每種選定的n個房間，與上述第(1)題情形一樣有n！種分配方法，所以恰有n個房間其中各住一個人的概率為 　　P2＝＝ 　　答：(1)指定的n個房間各有一個住的概率為；(2)恰好有n個房間各住一個人的概率為 　　評析　　本例常常稱為“分房問題”，求解之關鍵在于等可能事件的認識和劃分．對于(1)須明確“指定”一詞的含義．對于(2)須明確n個房間是從N個房間選取出來的，不是指定的．該題很好地考查了等可能事件的概率計算以及排列、組合知識的運用．