Question

【題目】已知橢圓與雙曲線有共同焦點，且離心率為.

（Ⅰ）求橢圓的標準方程；

（Ⅱ）設為橢圓的下頂點， 為橢圓上異于的不同兩點，且直線與的斜率之積為.

（ⅰ）試問所在直線是否過定點？若是，求出該定點；若不是，請說明理由；

（ⅱ）若為橢圓上異于的一點，且，求的面積的最小值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）（ⅰ）（0,0）；（ⅱ）.

【解析】試題分析：（Ⅰ）由題意設橢圓的方程為，則，

又，∴，∴，則橢圓的方程可求:

（Ⅱ）（ⅰ）討論可知，直線的斜率存在，設所在直線方程為，

聯立，消去得： ，①

設， ，

， ，

， ，將上述結論代入可得

.又由題意

解得： .即直線恒過點（0,0）.

（ⅱ）由（ⅰ）知， ，

而，∴.

當時，設所在直線方程為，

則， ，

當時，亦符合上式，

∴ .

令， ，

，

∵，∴，

當，即時， 取最大值4，

所以當，即時， 面積最小，最小值為.

試題解析：（Ⅰ）由題意知：雙曲線的焦點為， ，

設橢圓的方程為，半焦距為，則，

又，∴，

∴

∴橢圓的方程為.

（Ⅱ）（ⅰ）若直線斜率不存在，設， ，

則，

而，故不成立.

所以直線的斜率存在，

設所在直線方程為，

聯立，消去得： ，①

設， ，

， ，

， ，

.

整理得： .

∴直線恒過點（0,0）.

（ⅱ）由（ⅰ）知， ，

面，∴.

當時，設所在直線方程為，

則， ，

當時，亦符合上式，

∴

.

令， ，

，

∵，∴，

當，即時， 取最大值4，

所以當，即時， 面積最小，最小值為.