Question

如圖1-2-18，△ABC中，D是BC的中點，M是AD上一點，BM、 CM的延長線分別交AC、AB于F、E.求證:EF∥BC.

圖1-2-18

Answer 1

思路分析:要證明EF∥BC，想通過角之間的關系達到目的顯然是不可能的，而要利用成比例線段判定兩直線平行的判定定理，圖中又沒有平行條件，因此要設法作出平行線，以便利用判定定理.作平行線時，要充分考慮到中點D條件的應用.

                 

(1)                      (2)                          (3)

分析一:延長AD至G，使DG=MD，連結BG、CG,如圖（1），則四邊形BGCM為平行四邊形，可以立即將轉化成中間比.

解法一:延長AD至G，使DG=MD，連結BG、CG.

∵BD=DC,MD=DG,

∴四邊形BGCM為平行四邊形.

∴EC∥BG,FB∥CG.

∴=,=.

∴=.∴EF∥BC.

分析二:過A作BC的平行線，與BF、CE的延長線分別交于G、H，如圖（2），則

.要證明，只要證AH=AG，這是不難解決的.

解法二:過A作BC的平行線，與BF、CE的延長線分別交于G、H.

∵AH∥DC,AG∥BD,

∴∵BD=DC,∴AH=AG.

∵HG∥BC,∴.

∵AH=AG,∴.∴EF∥BC.

分析三:如圖（3），過M作BC的平行線，分別與AB、AC交于G、H，

∵BD=DC,GM=MH.要證EF∥BC，只要證，這可以通過中間比立即證得.

解法三:過M作BC的平行線，分別與AB、AC交于G、H，

則.

∵BD=DC,∴GM=MH.

∵GH∥BC,∵GM=MH,∴∴EF∥BC.