Question

如圖所示，在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，DB=BC，DB⊥AC，點M是棱BB₁上一點．
（1）求證：B₁D₁∥面A₁BD；
（2）求證：MD⊥AC；
（3）試確定點M的位置，使得平面DMC₁⊥平面CC₁D₁D．

Answer 1

解：（1）證明：由直四棱柱，得BB₁∥DD₁且BB₁=DD₁，所以BB₁D₁D是平行四邊形，
所以B₁D₁∥BD．
而BD?平面A₁BD，B₁D₁?平面A₁BD，
所以B₁D₁∥平面A₁BD．
（2）證明：因為BB₁⊥面ABCD，AC?面ABCD，所以BB₁⊥AC，
又因為BD⊥AC，且BD∩BB₁=B，
所以AC⊥面BB₁D，
而MD?面BB₁D，所以MD⊥AC．
（3）當點M為棱BB₁的中點時，平面DMC₁⊥平面CC₁D₁D
取DC的中點N，D₁C₁的中點N₁，連接NN₁交DC₁于O，連接OM．
因為N是DC中點，BD=BC，所以BN⊥DC；又因為DC是面ABCD與面DCC₁D₁的交線，而面ABCD⊥面DCC₁D₁，
所以BN⊥面DCC₁D₁．
又可證得，O是NN₁的中點，所以BM∥ON且BM=ON，即BMON是平行四邊形，所以BN∥OM，所以OM⊥平面CC₁D₁D，因為OM?面DMC₁，所以平面DMC₁⊥平面CC₁D₁D．
分析：（1）在平面A₁BD內找到和B₁D₁平行的直線BD即可．利用線線平行來推線面平行．
（2）先利用條件BB₁⊥AC和BD⊥AC證得AC⊥面BB₁D，再證明MD⊥AC即可．
（3）因為棱BB₁上最特殊的點是中點，所以先看中點．取DC的中點N，D₁C₁的中點N₁，連接NN₁交DC₁于O，?BN⊥DC?面ABCD⊥面DCC₁D₁，
?BN⊥面DCC₁D₁．而又可證得BN∥OM，所以可得OM⊥平面CC₁D₁D?平面DMC₁⊥平面CC₁D₁D．
點評：本題考查平面和平面垂直的判定和性質．在證明面面垂直時，其常用方法是在其中一個平面內找兩條相交直線和另一平面內的某一條直線垂直．