Question

【題目】如圖，在Rt△AOB中，∠OAB= ，斜邊AB=4．Rt△AOC可以通過Rt△AOB以直線AO為軸旋轉得到，且二面角B﹣AO﹣C是直二面角，動點D在斜邊AB上．
（Ⅰ）求證：平面COD⊥平面AOB；
（Ⅱ）當VA﹣DOC：VA﹣BOC=1：2時，求CD與平面AOB所成角的大小．

Answer 1

【答案】證明：（Ⅰ）由題意，CO⊥AO，BO⊥AO，
∴∠BOC是二面角B﹣AO﹣C是直二面角，
又∵二面角B﹣AO﹣C是直二面角，∴CO⊥BO，
又∵AO∩BO=O，∴CO⊥平面AOB，
又CO平面COD，∴平面COD⊥平面AOB．
解：（Ⅱ）當VA﹣DOC：VA﹣BOC=1：2時，D為AB中點，
以O為原點，OC為x軸，OB為y軸，OA為z軸，建立空間直角坐標系O﹣xyz，如圖，
則B（0，2，0），A（0，0，2 ），C（2，0，0），D（0，1， ），
∴ =（﹣2，1， ），
平面AOB的法向量 =（1，0，0），
設CD與平面AOB所成角為θ，
則sinθ= = = ．
∴θ=45°．
∴CD與平面AOB所成角為45°．

【解析】（Ⅰ）由題意，CO⊥AO，BO⊥AO，∠BOC是二面角B﹣AO﹣C是直二面角，從而CO⊥BO，進而CO⊥平面AOB，由此能證明平面COD⊥平面AOB．（Ⅱ）當VA﹣DOC：VA﹣BOC=1：2時，D為AB中點，以O為原點，OC為x軸，OB為y軸，OA為z軸，建立空間直角坐標系O﹣xyz，利用向量法能求出CD與平面AOB所成角．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用平面與平面垂直的判定和空間角的異面直線所成的角的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直；已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點，所成的角為，則．