Question

（2013•成都二模）巳知橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)（a＞b＞0）以拋物線y²=8x的焦點為頂點，且離心率為

1

2

（I）求橢圓E的方程
（II）若F為橢圓E的左焦點，O為坐標原點，直線l：y=kx+m與橢圓E相交于A、B 兩點，與直線x=-4相交于Q點，P是橢圓E上一點且滿足

OP

=

OA

+

OB

，證明

OP

.

FQ

為定值并求出該值．

Answer 1

分析：（I）由拋物線的焦點可求得a，由

c

a

=

1

2

可求得c，再由b²=a²-c²可求得b；
（II）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），聯立直線l方程、橢圓方程消掉y得x的二次方程，根據

OP

=

OA

+

OB

及韋達定理可用k、m表示點P坐標，代入橢圓方程可得關于k、m的方程①，由①及向量的數量積公式可求得

OP

.

FQ

為定值；

解答：解：（Ⅰ）拋物線y²=8x的焦點即為橢圓E的頂點，即a=2，
又

c

a

=

1

2

，所以c=1，b=

3

，
所以橢圓E的方程為

x2

4

+

y2

3

=1；
（Ⅱ）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
聯立

y=kx+m 3x2+4y2=12

⇒（4k²+3）x²+8kmx+4m²-12=0，
由韋達定理，得x1+x2=

-8km

4k2+3

，y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2m=

6m

4k2+3

，
將P（

-8km

4k2+3

，

6m

4k2+3

）代入橢圓E方程，得

64k2m2

4(4k2+3)2

+

36m2

3(4k2+3)2

=1，
整理，得4m²=4k²+3，
又F（-1，0），Q（-4，m-4k），
∴

FQ

=(-3，m-4k)，

OP

=(

-8km

4k2+3

，

6m

4k2+3

)，
故

FQ

•

OP

=

24km

4k2+3

+

6m(m-4k)

4k2+3

=

6m2

4k2+3

=

6m2

4m2

=

3

2

．

點評：本題考查橢圓方程、向量的數量積運算，考查方程思想，考查學生綜合運用知識解決問題的能力．