Question

已知S_n為數列{a_n}的前n項和，

a

=（S_n，1），

b

=(-1，2an+2n+1)，

a

⊥

b

．
（Ⅰ）求證：{

an

2n

}為等差數列；
（Ⅱ） 若bn=

n-2013

n+1

an，問是否存在n₀，對于任意k（k∈N^*），不等式bk≤bn0成立．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據

a

⊥

b

，利用向量的數量積公式，可得-Sn+2an+2n+1=0，再寫一式，兩式相減，整理可得{

an

2n

}是以-2為首項，-1為公差的等差數列；
（Ⅱ）確定數列的通項，令b_n+1≥b_n，即可知b_n的最大值，由此可得結論．

解答：（Ⅰ）證明：∵

a

⊥

b

，

a

=（S_n，1），

b

=(-1，2an+2n+1)，
∴-Sn+2an+2n+1=0，
∴-Sn+1+2an+1+2n+2=0
兩式相減，整理可得an+1=2an-2n+1，∴

an+1

2n+1

=

an

2n

-1，
又n=1時，-S1+2a1+21+1=0，∴a₁=-4，∴

a1

2

=-2
∴{

an

2n

}是以-2為首項，-1為公差的等差數列
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知

an

2n

=-2-(n-1)=-(n+1)，
∴bn=(2013-n)2n，
令b_n+1≥b_n，
∴（2012-n）2ⁿ⁺¹≥（2013-n）2ⁿ，
∴n≤2011
∴b_n的最大值為b2011=b2012=22012，
∴存在n₀=2011或2012，對于任意k（k∈N^*），不等式bk≤bn0成立．

點評：本題考查向量知識的運用，考查數列遞推式，考查數列的通項，考查學生分析解決問題的恩了，屬于中檔題．