Question

在數列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=

2an

2+an

，n∈N^*，猜想這個數列的通項公式是什么？這個猜想正確嗎？說明理由．

Answer 1

分析：利用數列遞推式，計算前幾項，可猜想通項，證明時利用取倒數的方法，可得數列{

1

an

}是以

1

a1

=1為首項，

1

2

為公差的等差數列，從而可求數列的通項．

解答：解：在{a_n}中，a₁=1，a₂=

2a1

2+a1

=

2

3

，a₃=

2a2

2+a2

=

1

2

=

2

4

，a₄=

2a3

2+a3

=

2

5

，…，
所以猜想{a_n}的通項公式a_n=

2

n+1

．
這個猜想是正確的．
證明如下：因為a₁=1，a_n+1═

2an

2+an

，
所以

1

an+1

=

2+an

2an

=

1

an

+

1

2

，
即

1

an+1

-

1

an

=

1

2

，
所以數列{

1

an

}是以

1

a1

=1為首項，

1

2

為公差的等差數列，
所以

1

an

=1+

1

2

（n-1）=

1

2

n+

1

2

，所以通項公式a_n=

2

n+1

．

點評：本題考查數列遞推式，考查等差數列的判斷，考查學生分析解決問題的能力，正確構造等差數列是關鍵．