Question

函數f（x）=log

1

2

sin(2x+

π

4

)  在[-

π

2

，

π

2

]上的單調減區間為

（-

π

8

，

π

8

）

．

Answer 1

分析：首先根據對數的真數大于0，解不等式sin（2x+

π

4

）＞0并結合x∈[-

π

2

，

π

2

]，得到函數的定義域為（-

π

8

，

3π

8

）．然后根據復合函數單調性法則可得函數在區間（-

π

8

，

π

8

）是減函數，得到本題答案．

解答：解：函數的定義域滿足{x|sin（2x+

π

4

）＞0}，
即{x|2kπ＜2x+

π

4

＜2kπ+π，k∈Z}，解之得{x|kπ-

π

8

＜x＜2kπ+

3π

8

，k∈Z}，
∵x∈[-

π

2

，

π

2

]，
∴取k=0，得函數的定義域為（-

π

8

，

3π

8

）
∵0＜

1

2

＜1，當x∈（-

π

8

，

π

8

）時，t=sin（2x+

π

4

）是增函數．
∴當x∈（-

π

8

，

π

8

）時，y=log

1

2

t是減函數，
由此可得f（x）=log

1

2

sin(2x+

π

4

)  在[-

π

2

，

π

2

]上的單調減區間為（-

π

8

，

π

8

）
故答案為：（-

π

8

，

π

8

）

點評：本題給出含有三角函數的對數型函數，求函數在[-

π

2

，

π

2

]上的單調減區間．著重考查了三角函數的圖象與性質、對數函數的單調性和復合函數單調性法則等知識，屬于中檔題．