Question

【題目】如圖，三棱錐中，，，點(diǎn)，分別是棱，的中點(diǎn)，點(diǎn)是的重心.

（1）證明：平面；

（2）若與平面所成的角為，且，求三棱錐的體積.

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）

【解析】

（1）根據(jù)等腰三角形三線合一可證，再證得到即可得證平面.

（2）連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，則點(diǎn)為的中點(diǎn)，連接，可得平面，即為與平面所成的角，由勾股定理可計(jì)算出、的值，根據(jù)求出錐體的體積.

（1）∵，是的中點(diǎn)，∴.

∵，是的中點(diǎn)，∴，

又，，∴.

∴，即.

平面，平面，且，

∴平面.

（2）連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，則點(diǎn)為的中點(diǎn)，連接，則.

由（1）得平面，∴為與平面所成的角，即.

又在中，，∴，.

∵是的重心，，分別是，的中點(diǎn)，∴，.

∵，，，分別是，中點(diǎn)，∴，，，

則在中，，∴.

所以三棱錐的體積.