Question

【題目】如圖，四棱錐，側面是邊長為2的正三角形，且與底面垂直，底面是的菱形，為的中點．

（1）在棱上是否存在一點，使得，，，四點共面？若存在，指出點的位置并說明；若不存在，請說明理由；

（2）求點平面的距離．

Answer 1

【答案】（1）為棱的中點；（2）.

【解析】

試題分析：（1）當點為棱的中點時，，，，四點共面，利用中位線，有，即可得四點共面；（2）取中點,連結，，，易證平面，利用等體積法，根據，有，計算得，即點到平面的距離為．

試題解析：

（1）當點為棱的中點時，，，，四點共面．證明如下：

取棱的中點，連結，，又為的中點，所以，

在菱形中，所以，

所以，，，四點共面．

（2）點到平面的距離即點到平面的距離，取中點,連結，，，

依題意可知△，△均為正三角形，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，即為三棱錐的高．

在中，，，

在△中，，，邊上的高，

所以△的面積．

設點到平面的距離為，由，得，

又，

∴，

解得，所以點到平面的距離為．