Question

如圖，M（-2，0）和N（2，0）是平面上的兩點，動點P滿足：||PM|-|PN||=2．
（Ⅰ）求點P的軌跡方程；
（Ⅱ）設d為點P到直線l：的距離，若|PM|=2|PN|²，求的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）聯系雙曲線的第一定義，半焦距c=2，實半軸a=1，從而虛半軸b=，
（2）聯系雙曲線的第二定義，到定點距離比上到對應直線的距離等于常數e（離心率）．
解答：解：（I）由雙曲線的定義，點P的軌跡是以M、N為焦點，實軸長2a=2的雙曲線．
因此半焦距c=2，實半軸a=1，從而虛半軸b=，
所以雙曲線的方程為
（II）解法一：
由（I）及答（21）圖，易知|PN|≥1，因|PM|=2|PN|²，①
知|PM|＞|PN|，故P為雙曲線右支上的點，所以|PM|=|PN|+2．②
將②代入①，得2||PN|²-|PN|-2=0，解得|PN|=，
所以|PN|=．
因為雙曲線的離心率e==2，直線l：x=是雙曲線的右準線，故=e=2，
所以d=|PN|，因此
解法二：
設P（x，y），因|PN|≥1知
|PM|=2|PN|²≥PN|＞|PN|，
故P在雙曲線右支上，所以x≥由雙曲線方程有y²=3x²-3．
因此，
從而由|PM|=2|PN|²得
2x+1=2（4x²-4x+1），即8x²-10x+1=0．
所以x=（舍去）．
有|PM|=2x+1=
d=x-=．
故
點評：本小題主要考查雙曲線的第一定義、第二定義，及轉化與化歸、數形結合的數學思想，同時考查了學生的運算能力．