Question

如圖，M（-2，0）和N（2，0）是平面上的兩點，動點P滿足：|PM|+|PN|=6，
（Ⅰ）求點P的軌跡方程；
（Ⅱ）若|PM|·|PN|=，求點P的坐標。

Answer 1

解：(Ⅰ)由橢圓的定義，點P的軌跡是以M、N為焦點， 長軸長2a=6的橢圓， 因此半焦距c=2，長半軸a=3， 從而短半軸b=， 所以橢圓的方程為； (Ⅱ)由， 得，① 因為cos∠MPN≠1，P不為橢圓長軸頂點， 故P、M、N構成三角形， 在△PMN中，|MN|=4， 由余弦定理有 ，② 將①代入②， 得， 故點P在以M、N為焦點， 實軸長為的雙曲線上， 由(Ⅰ)知，點P的坐標又滿足， 所以由方程組， 即P點坐標為 或。