Question

已知橢圓C：的兩個焦點為、，且經過點，一組斜率為的直線與橢圓C都相交于不同兩點、。

（1）求橢圓C的方程；

（2）證明：線段的中點都有在同一直線上；

（3）對于（2）中的直線，設與橢圓C交于兩點M、N，試探究橢圓上使MNQ面積為的點Q有幾個？證明你的結論。（不必具體求出Q點的坐標）

 

 

Answer 1

【答案】

解：（1）（法一）

        橢圓C的方程為

（法二）由，解得  橢圓C的方程為

（2）（法一）設、，的中點坐標，則

，兩式相減得

又，， 代入，得

線段的中點都有在同一直線：上；

（法二）設直線的方程為，代入得

，設、，的中點坐標，則

，則

消去得

線段的中點都有在同一直線：上；（中點弦、定直線、消參求軌跡）

（3）代入得

或           |MN|=,

設點Q到直線的距離為，則由=得

（法一）設Q在與直線MN平行的直線上，則直線與直線MN的距離為          解得，

時，代入得①

，

方程①有兩不等實解，即有兩個不同點Q滿足；同理可得，時也有兩個不同的點Q滿足。

綜上，共有4個不同點Q滿足條件

(若求點Q坐標,則為)

法(二)設D為橢圓上不同于M、N的任一點，D到MN的距離為

，

即橢圓C上點到直線MN距離的最大值為，

而,故由圖可知，橢圓C上有4個點Q能滿足條件。

 

【解析】略