Question

數列{a_n}的通項a_n=n2(cos2

nπ

3

-sin2

nπ

3

)，n∈N^*，S_n為前n項和
（1）求S₃、S₆的值
（2）求前3n項的和S_3n
（3）若b_n=

s3n

n-4n

，求數列{b_n}的前n項和Tn．

Answer 1

分析：（1）由an=n2(cos2

nπ

3

-sin2

nπ

3

)=n2cos

2nπ

3

，n∈N^*，cos

2nπ

3

以3為周期，能求出S₃和S₆的值．
（2）由a_3n-2+a_3n-1+a_3n=9n-

5

2

，能求出S_3n=（a₁+a₂+a₃）+（a₄+a₅+a₆）+…+（a_3n-2+a_3n-1+a_3n）=9（1+2+…+n）-

5n

2

，由此能求出結果．
（3）由bn=

S3n

n•4n

=

9n+4

2

•(

1

4

)n，知Tn=

1

2

(

13

4

+

22

42

+

31

43

+…+

9n+4

4n-1

)，再由錯位相減法能求出Tn=

8

3

-

1

3•22n-3

-

3n

2 2n+1

．

解答：解：（1）an=n2(cos2

nπ

3

-sin2

nπ

3

)
=n2cos

2nπ

3

，n∈N^*，
cos

2nπ

3

以3為周期．
∴S₃=a₁+a₂+a₃
=cos

2π

3

+22cos

4π

3

+32cos

6π

3

=-

1

2

+4×(-

1

2

) +9×1=

13

2

．
S₆=（a₁+a₂+a₃）+（a₄+a₅+a₆）
=[-

1

2

+4×(-

1

2

)+9×1]+[16×(-

1

2

)+25×(- 

1

2

) +36×1]
=22．
（2）∵a_3n-2+a_3n-1+a_3n
=(3n-2)2•(-

1

2

) +(3n-1)2•(-

1

2

) +(3n)2•1=9n-

5

2

，
∴S_3n=（a₁+a₂+a₃）+（a₄+a₅+a₆）+…+（a_3n-2+a_3n-1+a_3n）
=（9-

5

2

）+（9×2-

5

2

）+…+（9n-

5

2

）
=9（1+2+…+n）-

5n

2

=

9n2+4n

2

．（9分）
（3）bn=

S3n

n•4n

=

9n+4

2

•(

1

4

)n，
∴Tn=

1

2

(

13

4

+

22

42

+

31

43

+…+

9n+4

4n

)，
∴4Tn=

1

2

(13+

22

4

+

31

42

+…+

9n+4

4n-1

)，
∴3Tn=

1

2

(13+

9

4

+

9

42

+…+

9

4n-1

-

9n+4

4n

)
=8-

1

2 2n-3

-

9n

22n+1

，
∴Tn=

8

3

-

1

3•22n-3

-

3n

2 2n+1

．（14分）．

點評：本題考查數數的性質的綜合運用，是中檔題．解題時要認真審題，仔細解答，注意錯位相減法的合理運用．