Question

如圖，已知拋物線：和⊙：，過拋物線上一點作兩條直線與⊙相切于、兩點，分別交拋物線為E、F兩點，圓心點到拋物線準線的距離為．

（Ⅰ）求拋物線的方程；

（Ⅱ）當的角平分線垂直軸時，求直線的斜率；

（Ⅲ）若直線在軸上的截距為，求的最小值．

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）；（3）.

【解析】

試題分析：本題考查拋物線、圓的標準方程以及直線與拋物線、圓的位置關系，突出解析幾何的基本思想和方法的考查：如數形結合思想、坐標化方法等.第一問，據點到準線的距離為，直接列式求得，得到拋物線的標準方程；第二問，據條件的角平分線為，即軸，得，而，關于對稱，所以，利用兩點斜率公式代入得，所以求得；第三問，先求直線的方程，再求的方程，令，可得到，利用函數的單調性求函數的最值.

試題解析：(1)∵點到拋物線的距離為，

∴，即拋物線的方程為.         2分

（2）法一：∵當的角平分線垂直軸時，點，∴，

設，

∴，  ∴，

∴，∴.            6分

法二：∵當的角平分線垂直軸時，點，∴，可得，，∴直線的方程為，

聯立方程組，得，

∵   ∴，．

同理可得，，∴．              6分

（3）法一：設，∵，∴，

可得，直線的方程為，

同理，直線的方程為，

∴，，

∴直線的方程為，

令，可得，

∵關于的函數在單調遞增，   ∴．               12分

法二：設點，，．

以為圓心，為半徑的圓方程為，      ①

⊙方程：． ②

① ②得：

直線的方程為．

當時，直線在軸上的截距，

∵關于的函數在單調遞增，   ∴．             12分

考點：1.點線距離；2.圓外一點引兩條切線的性質.