Question

如圖，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，E是AC中點(diǎn)．
（1）求證：平面BEC₁⊥平面ACC₁A₁；
（2）若AA1=

2

，AB=2，求點(diǎn)A到平面BEC₁的距離．

Answer 1

分析：（1）由ABC-A₁B₁C₁是正三棱柱，知AA₁⊥平面ABC，BE⊥AA₁．由△ABC是正三角形，E是AC中點(diǎn)，知BE⊥平面ACC₁A₁．由此能夠證明平面BEC₁⊥平面ACC₁A₁．
（2）由題意知，點(diǎn)A到平面BEC₁的距離即點(diǎn)C到平面BEC₁的距離，過點(diǎn)C作CH⊥C₁E于點(diǎn)H，則可證CH⊥平面BEC₁，故CH為點(diǎn)C到平面BEC₁的距離，由等面積可得結(jié)論；

解答：證明：（1）∵ABC-A₁B₁C₁是正三棱柱，
∴AA₁⊥平面ABC，
∴BE⊥AA₁．
∵△ABC是正三角形，E是AC中點(diǎn)，
∴BE⊥AC，
∴BE⊥平面ACC₁A₁．
∴BE?平面BEC₁
∴平面BEC₁⊥平面ACC₁A₁
解：（2）由題意知，點(diǎn)A到平面BEC₁的距離即點(diǎn)C到平面BEC₁的距離
∵ABC-A₁B₁C₁是正三棱柱
∴BE⊥平面ACC₁A₁，
∵BE?平面BEC₁，
∴平面BEC₁⊥平面ACC₁A₁，
過點(diǎn)C作CH⊥C₁E于點(diǎn)H，則CH⊥平面BEC₁，
∴CH為點(diǎn)C到平面BEC₁的距離
在直角△CEC₁中，CE=1，CC₁=

2

，C₁E=

3

，
∴由等面積法可得CH=

6

3

∴點(diǎn)A到平面BEC₁的距離為

6

3

點(diǎn)評(píng)：本題考查線面平行，考查點(diǎn)到面的距離，解題的關(guān)鍵是掌握線面平行的判定，正確作出表示點(diǎn)面距離的線段，屬于中檔題．