Question

已知函數f(x)=a^x-x(a＞1).

(1)求函數f(x)的最小值,并求最小值小于0時a的取值范圍;

(2)令S(n)=f′(1)+f′(2)+…+f′(n-1),證明S(n)＞(2ⁿ-2)·f′().

Answer 1

解：(1)由f′(x)=a^xlna-1,f′(x)＞0,即a^xlna＞1,∴a^x＞.又a＞1,∴x＞-log_alna.同理,f′(x)＜0,有x＜-log_alna.

∴f′(x)在(-∞,-log_alna)上遞減,在(-log_alna,+∞)上遞增.∴f(x)_min=f(-log_alna)=.

若f(x)_min＜0,即＜0,則ln(lna)＜-1,∴lna＜.∴a的取值范圍是1＜a＜.

(2)S(n)=(alna-1)+(a²lna-1)+…+(a^n-1·lna-1)=(a+a²+…+a^n-1)lna-(++…+)=[(a+a^n-1)+(a²+a^n-2)+…+(a^n-1+a)]·lna-(2ⁿ-2)≥(2ⁿ-2)lna-(2ⁿ-2)=(2ⁿ-2)(lna-1)=(2ⁿ-2)f′().∴不等式成立.