Question

【題目】如圖，、是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，一條直線與雙曲線的右支相切，且分別交兩條漸近線于A、B.又設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求證： （1）； ⑵、、A、B四點(diǎn)在同一個(gè)圓上.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）見解析

【解析】

⑴若直線AB的斜率不存在，即切點(diǎn)位于實(shí)軸的頂點(diǎn)，則A、B的坐標(biāo)分別為（1，2）、（1，-2）.這時(shí)，結(jié)論成立.

若直線AB的斜率存在，可設(shè)直線AB的方程為.

由于AB與雙曲線相切，所以關(guān)于x的方程有兩個(gè)相等的實(shí)根，

即.

整理得.

由于A、B的橫坐標(biāo)、是方程的兩個(gè)實(shí)根，

我們有.

注意A、B的坐標(biāo)分別為（），（）.

可知，，

因此.

⑵在與中，，且，

所以 .同理.

這樣，我們有

.

即四邊形中的一組對角之和等于另一組對角之和，從而對角之和為180°，該四邊形內(nèi)接于圓.