Question

過點P(2，4)作兩條互相垂直的直線l₁、l₂，若l₁交x軸于A點，l₂交y軸于B點，求線段AB的中點M的軌跡方程．

Answer 1

解法一:設點M的坐標為(x，y).∵M為線段AB的中點，∴A的坐標為(2x，0)，B的坐標為(0，2y).∵l₁⊥l₂，且l₁、l₂過點P(2，4)，∴PA⊥PB，k_PA·k_PB=-1．而k_PA=(x≠1)，

k_PB=，∴=-1(x≠1)．

    整理，得x+2y-5=0(x≠1)

    ∵當x=1時，A、B的坐標分別為(2，0)、(0，4),

    ∴線段AB的中點坐標是(1，2)，它滿足方程x+2y-5=0.

    綜上所述，點M的軌跡方程是x+2y-5=0.

解法二:設M的坐標為(x，y)，則A、B兩點的坐標分別是(2x，0)、(0，2y)，連結PM.

∵l₁⊥l₂，∴2|PM|=|AB|.

而|PM|=,

|AB|=，

∴2=，

化簡，得x+2y-5=0，即為所求軌跡方程．

解法三:∵l₁⊥l₂，OA⊥OB，

∴O、A、P、B四點共圓，且該圓的圓心為M.

∴|MP|=|MO|.

∴點M的軌跡為線段OP的中垂線.

∵k_OP==2，OP的中點坐標為（1，2），

∴點M的軌跡方程是y-2=-(x-1)，即x+2y-5=0.