Question

設f(x)=log2

x+1

x-1

+lo

g

2

(x-1)+log2(p-x)（p＞1），問f（x）是否存在最大值？若存在，請求出最大值；否則，說明理由．

Answer 1

分析：由對數的真數大于0可得自變量x的取值范圍，即函數的定義域；將函數解析式化成log₂（x+1）（P-x）后，考慮（x+1）（P-x）這個二次函數的最大值就可得到原函數的最大值．

解答：解：解：∵函數f（x）中，自變量x滿足

x+1 x-1 ＞0 x-1＞0 p-x＞0

⇒1＜x＜P，（P＞1）
故f（x）的定義域是（1，p）；
∵函數f（x）=log₂

x+1

x-1

×（x-1）×（P-x）=log₂（x+1）（P-x）
∵（x+1）（P-x）≤(

1+P

2

)2
∴f（x）≤log₂(

1+P

2

)2=2log₂（1+P）-2．
當x=

1+P

2

時，取“=”．
故函數f（x）存在最大值，最大值為2log₂（p+1）-2．

點評：對數函數的定義域和最值．解決對數函數中的最值問題，一是利用對數函數的性質；二是轉化為二次函數型，必須充分挖掘問題中的隱含條件進行合理地轉化．