Question

拋物線C的方程為y=ax²(a＜0)，過拋物線C上一點P(x₀，y₀)(x₀≠0)作斜率為k₁，k₂的兩條直線分別交拋物線C于A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)兩點(P、A、B三點互不相同)，且滿足k₂+λk₁=0(λ≠0且λ≠-1).

(Ⅰ)求拋物線C的焦點坐標和準線方程；

(Ⅱ)設直線AB上一點M，滿足=λ，證明線段PM的中點在y軸上.

Answer 1

解：(Ⅰ)由拋物線C的方程y= ax² (a＜0)得，

焦點坐標為(0，)，準線方程為y=.

(Ⅱ)證明：設直線PA的方程為y- y₀= k₁ (x- x₀)，

直線PB的方程為y- y₀=k₂(x- x₀)．

點P(x₀，y₀)和點A(x₁，y₁)的坐標是方程組

的解．

將②式代入①式得ax²- k₁x+ k₁x₀-y₀=0，

于是x₁+ x₀=，故x₁=-x₀③

又點P(x₀，y₀)和點B(x₂，y₂)的坐標是方程組

的解．

將⑤式代入④式得ax²-k₂x+k₂x₀- y₀=0．

于是x₂+x₀=，故x₂=-x₀．

由已知得，k₂=-λk₁,則x₂=k₁- x₀.⑥

設點M的坐標為(x_M，y_M)，由，則x_M=．

將③式和⑥式代入上式得x_M==-x₀，即x_M+ x₀=0.

∴線段PM的中點在y軸上．