Question

拋物線C的方程為y=ax²（a＜0），過拋物線C上一點P（x₀，y₀）（x₀≠0）作斜率為k₁，k₂的兩條直線分別交拋物線C于A（x₁，y₁）B（x₂，y₂）兩點（P，A，B三點互不相同），且滿足k₂+λk₁=0（λ≠0且λ≠-1）．
（Ⅰ）求拋物線C的焦點坐標和準線方程；
（Ⅱ）設直線AB上一點M，滿足

BM

=λ

MA

，證明線段PM的中點在y軸上；
（Ⅲ）當λ=1時，若點P的坐標為（1，-1），求∠PAB為鈍角時點A的縱坐標y₁的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）數形結合，依據拋物線C的標準方程寫焦點坐標和準線方程．
（2）先依據條件求出點M的橫坐標，利用一元二次方程根與系數的關系，證明x_M+x₀=0．
（3）∠PAB為鈍角時，必有

AP

•

AB

＜0．用k_1^表示y_1，^通過k_{1^{的范圍來求y1的范圍．}}

解答：解：（Ⅰ）由拋物線C的方程y=ax²（a＜0）得，焦點坐標為（0，

1

4a

），準線方程為y=-

1

4a

．
（Ⅱ）證明：設直線PA的方程為y-y₀=k₁（x-x₀），直線PB的方程為y-y₀=k₂（x-x₀）．
點P（x₀，y₀）和點A（x₁，y₁）的坐標是方程組

y-y0=k1(x-x0) ① y=ax2 ②

的解．
將②式代入①式得ax²-k₁x+k₁x₀-y₀=0，于是x₁+x₀=

k1

a

，故x₁=

k1

a

-x₀ ③．
又點P（x₀，y₀）和點B（x₂，y₂）的坐標是方程組

y-y0=k2(x-x0) ④ y=ax2 ⑤

 的解．
將⑤式代入④式得ax²-k₂x+k₂x₀-y₀=0．于是x₂+x₀=

k2

a

，故x₂=

k2

a

-x₀．
由已知得，k₂=-λk₁，則x₂=-

λ

a

k1-x₀． ⑥
設點M的坐標為（x_M，y_M），由

BM

=λ

MA

，可得 x_M=

x2+λx1

1+λ

．
將③式和⑥式代入上式得x_M=

-x0-λx0

1+λ

=-x₀，
即x_M+x₀=0．所以線段PM的中點在y軸上．
（Ⅲ）因為點P（1，-1）在拋物線y=ax²上，所以a=-1，拋物線方程為y=-x²．
由③式知x₁=-k₁-1，代入y=-x² 得 y₁=-（k₁+1）²．
將λ=1代入⑥式得   x₂=k₁-1，代入y=-x²得   y₂=-（k₂+1）²．
因此，直線PA、PB分別與拋物線C的交點A、B的坐標為A（-k₁-1，-k₁²-2k₁-1），B（k₁-1，-k₁²+2k₁-1）．
于是

AP

=（k₁+2，k₁²+2k₁），

AB

=（2k₁，4k₁），

AP

•

AB

=2k₁（k₁+2）+4k₁（k₁²+2k₁）=2（k₁+2）（2+k₁1）．
因∠PAB為鈍角且P、A、B三點互不相同，故必有

AP

•

AB

＜0．
求得k₁的取值范圍是k₁＜-2，或-

1

2

＜k₁＜0．
又點A的縱坐標y₁滿足y₁=-（k₁+1）²，故當k₁＜-2時，y₁＜-1；當-

1

2

＜k₁＜0時，-1＜y＜-

1

4

．
即y₁∈（-∞，-1）∪（-1，-

1

4

）．

點評：本題綜合考查直線和圓錐曲線位置關系，訓練學生的綜合應用知識解決問題的能力，屬于中檔題．