Question

已知函數f（x）=2x³-3（a-1）x²+4x+6a（a∈R），g（x）=4x+6．
（1）若函數y=f（x）的切線斜率的最小值為1，求實數a的值；
（2）若兩個函數圖象有且只有一個公共點，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先求函數的導數，利用二次函數的最小值的為1，解方程即可求得實數a的值；
（2）將題中條件：“兩個函數圖象有且只有一個公共點，”等價于“h（x）=f（x）-g（x）=2x³-3（a-1）x²+6（a-1）圖象與x軸只有一個交點”，利用導數求得函數的極值，最后要使h（x）=f（x）-g（x）=2x³-3（a-1）x²+6（a-1）圖象與x軸只有一個交點，得到關于a的不等關系，從而求實數a的取值范圍．

解答：解：（1）f（x）=2x³-3（a-1）x²+4x+6a，求導得
f′（x）=6x²-6（a-1）x+4≥

4×6×4-36(a-1)2

4×6

=4-

3

2

(a-1)2=1，
∴a=1±

2

，
（2）∵g（x）=4x+6的圖象是一條直線，
因此兩個函數圖象有且只有一個公共點的個數取決于方程f（x）=g（x）的解的個數，
所以只需研究函數h（x）=f（x）-g（x）=2x³-3（a-1）x²+6（a-1）圖象與x軸關系．
h′（x）=6x²-6（a-1）x=6x[x-（a-1）]，
①當a=1時，h′（x）=6x²≥0，h（x）在R上單調遞增，則h（x）與x軸只有一個交點；
②當a≠1時，h′（x）=0有兩根x₁=0，x₂=a-1，
而h（x₁）=6（a-1），h（x₂）=（a-1）[6-（a-1）²]，
∵h（x）與x軸只有一個交點，則需h（x₁）h（x₂）＞0，
∴6（a-1）（a-1）[6-（a-1）²]＞0，解得1-

6

＜a＜1+

6

且a≠1，
由①②可知實數a的取值范圍為（1-

6

，1+

6

）．

點評：本小題主要考查函數單調性的應用、利用導數研究函數的單調性、導數在最大值、最小值問題中的應用、不等式的解法等基礎知識，考查運算求解能力，轉化思想．屬中檔題．