Question

已知函數
（I）求函數f（x）的最小值；
（II）若不等式恒成立，求實數t的取值范圍．

Answer 1

解：（I）∵x＞3，
∴x-3＞0．
∴．…（3分）
當且僅當
即（x-3）²=9時上式取得等號，
又∵x＞3，
∴x=6，…（5分）
∴當x=6時，函數f（x）的最小值是9．…（6分）
（II）由（I）知，當x＞3時，f（x）的最小值是9，
要使不等式恒成立，只需…（9分）
∴即
解得t≤-2或t＞-1
∴實數t的取值范圍是（-∞，-2]∪（-1，+∞）．…（12分）
分析：（Ⅰ）將f（x）=x+（x＞3）轉化為f（x）=x-3++3（x＞3），應用基本不等式即可求得函數f（x）的最小值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可求得f（x）_min=9，不等式恒成立，轉化為9≥+7恒成立，從而求得實數t的取值范圍．
點評：本題考查基本不等式，關鍵在于將所給的條件轉化為能用基本不等式的式子，難點在于（Ⅱ）中不等式恒成立，轉化為9≥+7恒成立，屬于難題．