Question

【題目】已知橢圓：經過兩點，.

（Ⅰ）求橢圓的標準方程；

（Ⅱ）過橢圓的右焦點的直線交橢圓于，兩點，且直線與以線段為直徑的圓交于另一點（異于點），若，求直線的斜率.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）將點兩點坐標代入橢圓方程，可得橢圓方程為；

（2）由（1）得，依題意直線斜率不為0，設其方程為，求出以線段為直徑的圓的圓心到直線的距離，根據半徑、圓心距、弦長關系，求出，設，可得，聯立直線方程和橢圓方程，根據根與系數關系，建立關于的方程，即可求解.

（1），代入橢圓方程可得

，解得，

所以橢圓的方程為；

（2）由（1）得，依題意直線斜率不為0，

設其方程為，

以線段為直徑的圓的圓心為，半徑為，

圓心到直線距離為，

聯立，消去得，

，設，

，

，

整理得，

，

直線的斜率為.