Question

設y=f（x）是二次函數，方程f（x）=0有兩個相等的實根，且f′（x）=2x+2．
（1）求y=f（x）的表達式；
（2）求y=f（x）的圖象與兩坐標軸所圍成圖形的面積；
（3）若直線x=-t（0＜t＜1把y=f（x））的圖象與兩坐標軸所圍成圖形的面積二等分，求t的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據導函數的解析式設出原函數的解析式，根據有兩個相等的實根可得答案．
（2）根據定積分的定義可得答案．
（3）由題意可得，化簡得2（t-1）³=-1，由此求得t的值．
解答：解：（1）∵f′（x）=2x+2   設f（x）=x²+2x+c，
根據f（x）=0有兩等根，得△=4-4c=0解得c=1，即f（x）=x²+2x+1；
（2）S===．
（3）由題意可得
即 ．
即=，∴2t³-6t²+6t-1=0，
即2（t-1）³=-1，∴t=1-．
點評：本題主要考查用待定系數法求函數的解析式，導數的運算，定積分的應用，屬于中檔題．