Question

近幾年來，我國許多地區經常出現干旱現象，為抗旱經常要進行人工降雨．現由天氣預報得知，某地在未來5天的指定時間的降雨概率是：前3天均為50%，后2天均為80%，5天內任何一天的該指定時間沒有降雨，則在當天實行人工降雨，否則，當天不實施人工降雨．
（1）求至少有1天需要人工降雨的概率；
（2）求不需要人工降雨的天數x的分布列和期望．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求出5天全不需要人工降雨的概率，再由間接法能求出至少有1天需要人工降雨的概率．
（2）x的取值是0，1，2，3，4，5，分別求出P（x=4），P（x=3），p（x=2），P（x=1），P（x=0）的值，由此能求出不需要人工降雨的天數x分布列和期望．
解答：解：（1）5天全不需要人工降雨的概率是，…（2分）
故至少有1天需要人工降雨的概率是1-p₁===．…（4分）
（2）x的取值是0，1，2，3，4，5，
由（1）知4天不需要人工降雨的概率是：
P（x=4）=（）³C×+C•（）³（）²=，…（5分）
P（x=3）=（）³（）²+C（）³C（）（）+（）³（）²=，…（6分）
2天不需要人工降雨的概率是：
P（x=2）=C（）³（）²+C（）³C（）×（）+（）³×（）²=，…（7分）
1天不需要人工降雨的概率是：P（x=1）=，…（8分）
0天不需要人工降雨的概率是：P（x=0）=（）³（）²=，…（9分）
不需要人工降雨的天數x分布列是：…（10分）

x		1	2	3	4	5
P

不需要人工降雨的天數x的期望是：
=3.1．…（12分）
點評：本題考查離散型隨機變量的分布列和數學期望，解題時要認真審題，仔細解答，注意概率知識的合理運用．