Question

用數學歸納法證明（n∈N）。

 

Answer 1

答案：
解析：

∵1，a1，a2，a3…，an，2成等比數列， ∴， ∴， ∴， ∵1，b1，b2，b3，…，bn，2成等差數列， ∴， ∴。 所以，數列{An}的通項，數列{Bn}的通項Bn=。 ∴。 要比較An與Bn的大小，只需比較與的大小， 也即比較當n≥7時，2n與的大小。 當n=7時，2，得知， 經驗證n=8，n=9時，均有命題成立。 猜想當n≥7時有。用數學歸納法證明。 （1）當n=7時，已驗證，命題成立。 （2）假設n=k(k≥7)時，命題成立，即：， 那么，又當k≥7時，有， ∴。 這就是說，當n=k+1時，命題成立。 根據（1）、（2），可知命題對于n≥7都成立。 故當n≥7時，An>Bn。