Question

【題目】設函數f （x）=（x+1）lnx﹣a （x﹣1）在x=e處的切線與y軸相交于點（0，2﹣e）．
（1）求a的值；
（2）函數f （x）能否在x=1處取得極值？若能取得，求此極值；若不能，請說明理由．
（3）當1＜x＜2時，試比較 與 大小．

Answer 1

【答案】
（1）解：f′（x）=lnx+ +1﹣a，

依題設得 =f′（e），即

e+1﹣a（e﹣1）﹣（2﹣e）=e ，

解得a=2

（2）解：函數f （x）不能在x=1處取得極值．

因為f′（x）=lnx+ ﹣1，記g（x）=ln x+ ﹣1，則g′（x）= ．

①當x＞1時，g′（x）＞0，所以g（x）在（1，+∞）是增函數，

所以g（x）＞g（1）=0，所以f′（x）＞0；

②當0＜x＜1時，g′（x）＜0，所以g（x）在（0，1）是減函數，

所以g（x）＞g（1）=0，即有f′（x）＞0．

由①②得f （x）在（0，+∞）上是增函數，

所以x=1不是函數f （x）極值點．

（3）解：當1＜x＜2時， ＞ ﹣ ．

證明如下：由（2）得f （x）在（1，+∞）為增函數，

所以當x＞1時，f（x）＞f （1）=0．

即（x+1）lnx＞2（x﹣1），所以 ＜ ．①

因為1＜x＜2，所以0＜2﹣x＜1， ＞1，所以 ＜ = ，

即﹣ ＜ ．②

①+②得 ﹣ ＜ + =

【解析】