Question

【題目】已知橢圓C的中心在原點，焦點在x軸上，離心率等于，它的一個頂點恰好是拋物線x2=8y的焦點．

（1）求橢圓C的標準方程；

（2）直線x=﹣2與橢圓交于P，Q兩點，A，B是橢圓上位于直線x=﹣2兩側的動點，若直線AB的斜率為，求四邊形APBQ面積的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

⑴設橢圓的標準方程為=1(a>b>0)，由已知可得b=2，，由此求出答案

⑵先求出，設直線AB的方程為,與聯立得，由此利用根的判別式，韋達定理，橢圓弦長公式，結合已知能求出答案

(1)橢圓C的中心在原點,焦點在x軸上,

故設橢圓標準方程為=1(a>b>0).

∵橢圓的離心率等于,它的一個頂點恰好是拋物線x2=8y的焦點(0,2),

∴b=2,e=,a2=b2+c2,

∴解得a2=16,b2=12,

∴橢圓C的標準方程為=1.

(2)直線x=-2與橢圓=1交點P(-2,3),Q(-2,-3)或P(-2,-3),Q(-2,3),

∴|PQ|=6.

設A(x1,y1),B(x2,y2),直線AB的方程為y=x+m,與=1聯立得x2+mx+m2-12=0.

由Δ=m2-4(m2-12)>0,得-4<m<4.

由根與系數的關系得x1+x2=-m,x1x2=m2-12.

由A,B兩點位于直線x=-2兩側,

得(x1+2)(x2+2)<0,

即x1x2+2(x1+x2)+4<0,

∴m2-2m-8<0,解得-2<m<4,

∴S=·|PQ|·|x1-x2|=·|PQ|·=3,

∴當m=0時,S最大值為12.