Question

設不等式組所表示的平面區域為D_n，記D_n內的整點個數為a_n（n∈N*）（整點即橫坐標與縱坐標均為整數的點）．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）（理）設，求S_n的最小值（n＞1，n∈N*）；
（3）設求證：≥．
（文）記數列{a_n}的前n項和為S_n，且．若對一切的正整數n，總有T_n≤m，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題設知D_n內的整點在直線x=1和x=2上．記直線y=-nx+3n為l，l與直線x=1和x=2的交點的縱坐標分別為y₁、y₂，由y₁=2n，y₂=n，知a_n=3n（n∈N*）．
（2）（理）（i）由．知．所以≥．
（ii）=）≥=．
（文）由題設知T_n=．T_n+1-T_n=-=，n≥3時{T_n}是遞減數列，且，所以T₂，T₃是數列{T_n}的最大項，故m≥．
解答：解：（1）∵x＞0，y=3n-nx＞0，0＜x＜3，x=1或x=2．
∴D_n內的整點在直線x=1和x=2上．記直線y=-nx+3n為l，l與直線x=1和x=2的交點的縱坐標分別為y₁、y₂，
∴y₁=2n，y₂=n．∴a_n=3n（n∈N*）．
（2）（理）（i）．
∵．
∴S_n+1＞S_n，S_n≥S₂（n＞1，n∈N*）．
∵≥．

（ii）==）
≥=．
（文）∵S_n=3（1+2+3+…+n）=，∴T_n=．
∴T_n+1-T_n=-=，∴當n≥3時，T_n+1＜T_n，∴n≥3時{T_n}是遞減數列，且，∴T₂，T₃是數列{T_n}的最大項，故m≥
點評：本題考查數列的性質和應用，解題時要注意公式的合理運用和不等式的應用．