Question

如圖，在Rt△ABC中，已知BC=a，若長為2a的線段PQ以點A為中點，問的夾角θ取何值時的值最大？并求出這個最大值．

Answer 1

【答案】分析：要求的夾角θ取何值時的值最大，我們有兩種思路：
法一：是將向量根據向量加減法的三角形法則，進行分析，分解成用向量表示的形式，然后根據，即=0，構造一個關于cosθ的式子，然后根據cosθ的取值范圍，分析出的最大值；
法二：是以直角頂點A為坐標原點，兩直角邊所在直線為坐標軸建立如圖所示的平面直角坐標系．求出各頂點的坐標后，進而給出向量的坐標，然后利用平面向量的數量值運算公式，構造一個關于cosθ的式子，然后根據cosθ的取值范圍，分析出的最大值．
解答：解：如下圖所示：
解法一：∵，∴．
∵，
∴
=
=
=-
=-a²+a²cosθ．
故當cosθ=1，即θ=0（與方向相同）時，最大．其最大值為0．
解法二：以直角頂點A為坐標原點，兩直角邊所在直線為坐標軸建立如圖所示的平面直角坐標系．
設|AB|=c|AC|=b，則A（0，0），B（c，0），C（0，b），
且|PQ|=2a，|BC|=a．
設點P的坐標為（x，y），則Q（-x，-y）．
∴，
．
∴
=-（x²+y²）+cx-by．
∵cosθ=．
∴cx-by=a²cosθ．
∴．
故當cosθ=1，
即θ=0（與方向相同）時，
最大，其最大值為0．
點評：本小題主要考查向量的概念，平面向量的運算法則，考查運用向量及函數知識的能力．