Question

已知二次函數f（x）=ax²+bx（a，b為常數且a≠0）滿足f（1-x）=f（1+x），且方程f（x）=x有等根．
（1）求f（x）的解析式；
（2）設g（x）=1-2f（x）（x＞1）的反函數為g^-1（x），若g^-1（2^2x）＞m（3-2^x）對x∈[1，2]恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先由f（1-x）=f（1+x）得函數對稱軸，再由方程f（x）=x有等根，得方程f（x）=x的判別式等于零，最后解方程即可；
（2）由（1）得出g（x）的解析式，再將x用y表示，最后交換x、y，即可求出反函數的解析式，從而得1+2^x＞m（3-2^x）對x∈[1，2]恒成立，t=2^x，轉化成關于t的一次函數恒成立問題，根據函數在[2，4]上的單調性建立不等式，從而求出所求．

解答：解：（1）∵f（1-x）=f（1+x），
∴函數的對稱軸為x=1，即-

b

2a

=1
∵方程f（x）=x有等根，∴△=（b-1）²=0
∴b=1，a=-

1

2

∴f(x)=-

1

2

x2+x．
（2）由（1）得g（x）=x²-2x+1，
當x＞1時，y=（x-1）²＞0⇒x=1+

y

⇒g^-1（x）=1+

x

（x＞0），
∵g^-1（2^2x）＞m（3-2^x）對x∈[1，2]恒成立，
即1+2^x＞m（3-2^x）對x∈[1，2]恒成立，
令t=2^x，則（m+1）t+1-3m＞0，對t∈[2，4]恒成立，
∴

2(m+1)+1-3m＞0 4(m+1)+1-3m＞0

⇒-5＜m＜3．

點評：本題考查了二次函數解析式的求法，解題時要熟練掌握二次函數的圖象特征，還考查了反函數，以及反函數與原函數的之間的關系，同時考查了恒成立問題和最值問題，是一道綜合題．