Question

【題目】已知圓:，直線： ．

（1）設點是直線上的一動點，過點作圓的兩條切線，切點分別為，求四邊形的面積的最小值；

（2）過作直線的垂線交圓于點， 為關于軸的對稱點，若是圓上異于的兩個不同點，且滿足： ，試證明直線的斜率為定值．

Answer 1

【答案】(1) (2) 見解析

【解析】試題分析：(1) 四邊形PAOB為兩個對稱的直角三角形構成，其中OA與OB為圓的半徑，其值固定不變，故到當PO最小值，四邊形PAOB的面積最小，即圓心到直線的距離最小，利用點到直線的距離公式求出PO的長，利用勾股定理求出此時AP的長，利用三角形的面積公式求出兩直角三角形的面積，即為四邊形PAOB面積的最小值．

(2) ， ，設直線的斜率為，則 斜率為，聯立消得： ，得，

同理，從而得到直線的斜率為定值．

試題解析：

（1）設四邊形的面積為， ，

，所以，當最小時， 就最小，

，所以： ．

（2）直線的方程為： ，代入，且在第一象限，

得則．設， ，

證法1： ，

設直線的斜率為，則 斜率為，

， ，

聯立消得： ，

，得，

同理，

，

所以，直線的斜率為定值1．

證法2： ， 的弧長等于的弧長，則，

所以： ，

展開得： ，

因為在圓上，則滿足： ，

所以整理為： ，即： ，

故，為定值．