Question

在平面直角坐標系xOy中，橢圓C的中心在原點，焦點F₁，F₂在x軸上，焦距為，P是橢圓上一動點，△PF₁F₂的面積最大值為2．
（Ⅰ）求橢圓的標準方程；
（Ⅱ）過點M（1，0）的直線l交橢圓C于A，B兩點，交y軸于點N，若，，求證：λ₁+λ₂為定值．

Answer 1

（Ⅰ）解：設橢圓的標準方程為（a＞b＞0）．
因為焦距為，所以c=．
當點P在短軸的頂點時，P到F₁F₂的距離最大，所以此時△PF₁F₂的面積最大，
所以，所以．
因為a²=b²+c²=4，所以a²=4，
所以橢圓方程為． …（5分）
（Ⅱ）證明：依題意，直線l的斜率存在，可設為k，則直線l：y=k（x-1）．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
聯立消y得 （2k²+1）x²-4k²x+2k²-4=0．
顯然△＞0，且 ，．
因為直線l交y軸于點N，所以N（0，-k）．
所以，，且
所以x₁=λ₁（1-x₁），所以，
同理．
所以 ．
即λ₁+λ₂為定值是．…（14分）
分析：（Ⅰ）設橢圓的標準方程，利用焦距為，求得c的值，根據當點P在短軸的頂點時，P到F₁F₂的距離最大，所以此時△PF₁F₂的面積最大為2，建立方程，從而可得橢圓方程；
（Ⅱ）直線l與橢圓方程聯立，利用，，用A，B的橫坐標表示λ₁，λ₂，從而可得結論．
點評：本題考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查韋達定理的運用，屬于中檔題．